Question

（2013•江阳区模拟）如图，已知点A的坐标为（

3

，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D，若AB=3BD．
（1）求点C的坐标；
（2）以点C为圆心，CA的

5

4

倍的长为半径作圆，试判断该圆与x轴的位置关系．

Answer 1

分析：（1）先根据A（

3

，3），AB=3BD求出D点坐标，进而可得出反比例函数y=

k

x

的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可；
（2）过C点做CE垂直于OB于点E，由A、C两点的坐标求出AC的长，根据C点坐标得出OC的长，进而得出CA的长，再比较出

5

4

CA与CE长度的大小即可．

解答：解：（1）∵A（

3

，3），AB=3BD，
∴D（

3

，1），
∵点D在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=

3

，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），则3=

3

k，解得k=

3

，
∴直线OA的解析式为y=

3

x，
∴

y= 3 x y= 3 x

，
解得

x=1 y= 3

或

x=-1 y=- 3

（舍去），
∴C（1，

3

）；

（2）过C点做CE垂直于OB于点E，
∵A（

3

，3），C（1，

3

），
∴AC=

( 3 -1)2+(3- 3 )2

=2

3

，
∵C（1，

3

），
∴OC=2，
∴CA=2

3

-2，
∴

5

4

CA=

5

2

（

3

-1），CE=

3

，
∵

5

2

（

3

-1）-

3

=

3 3

2

-

5

2

＞0，
∴该圆与x轴相交．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．