Question

5．如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

• A． AE=12cm
• B． sin∠EBC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$
• C． 当0＜t≤8时，y=$\frac{\sqrt{7}}{2}$t²
• D． 当t=9s时，△PBQ是等腰三角形

Answer 1

分析 由图2可知，在点（8，32$\sqrt{7}$）至点（10，32$\sqrt{7}$）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持续时间8s，则BE=BC=16；y是t的二次函数；
（2）在ED段，y=32$\sqrt{7}$是定值，持续时间2s，则ED=4；
（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．

解答 解：A、分析函数图象可知，BC=16cm，ED=4cm，故AE=AD-ED=BC-ED=16-4=12cm，故①正确；
B、如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=16cm，ED=4cm，则BF=12cm，
由勾股定理得，EF=4$\sqrt{7}$，
∴sin∠EBC=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{4\sqrt{7}}{16}$$\frac{\sqrt{7}}{4}$，故②正确；
C、如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=2t，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PG=$\frac{1}{2}$BQ•BP•sin∠EBC=$\frac{1}{2}$×2t•2t•$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$t²．
故③正确；
D、当t=9s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=14，ND=2，由勾股定理求得：NB=2$\sqrt{77}$，NC=2$\sqrt{29}$，
∵BC=16，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．
故④错误；
故选：D．

点评 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．