Question

13．如图，在∠BAC中，分别以AB，AC为邻边构造周长为20的菱形ABDC，且BC=6，EF∥BC分别交射线AB，AC于点E，F，将△AEF绕点E逆时针旋转90°得到△HEG（A和H，F和G分别是对顶点）．点E从点A出发沿射线AB方向运动，设AE=t．
（1）用含t的代数式表示EG的长．
（2）以B为圆心构造半径为2的⊙B，在BC左侧作NR∥BC，且与⊙B相切，NR分别交射线AB，AC于点N，R．
①当点E运动至点N时停止，求EG的长的最大值；
②当⊙B与△HEG的边EG或EH所在的直线相切时，求所满足条件的t的值．
（3）当t＜5时，在⊙B上取一点Q，则QG的长的最小值为$\frac{24}{13}$$\sqrt{13}$-2．

Answer 1

分析 （1））由EF∥BC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，考点$\frac{EF}{6}$=$\frac{t}{5}$，求出EF即可解决问题．
（2）①如图1中，连接AD交BD于O，设⊙B与直线NR相切于点M，连接BM，NR交AC于K．由图象可知，当点E与N重合时，EG的值最大，最大值为NK，想办法求出NK即可．②分两种情形考虑问题，当BO-EL=2或EL-BO=2时，直线EG与⊙B相切，构建方程即可解决问题，因为EH⊥AB，观察图象可知当t=3或7时，直线EH与⊙B相切．
（3）如图3中，易知点G在射线AG上运动，作GN⊥AE于N，BK⊥AG于K．在Rt△EGN中，由EG=$\frac{6}{5}$t，tan∠EGN=$\frac{3}{4}$，推出GN=$\frac{18}{25}$t，EN=$\frac{24}{25}$t，推出AN=$\frac{1}{25}$t，在Rt△AGN中，AG=$\sqrt{N{G}^{2}+A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$t，推出sin∠EAG=$\frac{GN}{AG}$=$\frac{\frac{24}{25}t}{\frac{\sqrt{13}}{5}t}$=$\frac{24}{65}$$\sqrt{13}$，在Rt△ABK中，BK=AB•sin∠EAG=$\frac{24}{13}$$\sqrt{13}$，根据垂线段最短可知，当点G与K重合时，QG的值最小，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{6}$=$\frac{t}{5}$，
∴EF=$\frac{6}{5}$t，
∴EG=EF=$\frac{6}{5}$t．

（2）①如图1中，连接AD交BD于O，设⊙B与直线NR相切于点M，连接BM，NR交AC于K．

由图象可知，当点E与N重合时，EG的值最大，最大值为NK，
易知△BMN∽△AOB，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{BM}{OA}$，
∴$\frac{BN}{5}$=$\frac{2}{4}$，
∴BN=$\frac{5}{2}$，
∴AN=$\frac{15}{2}$，
∵BC∥NK，
∴$\frac{BC}{NK}$=$\frac{AB}{AN}$，
∴$\frac{6}{NK}$=$\frac{5}{\frac{15}{2}}$，
∴NK=9，
∴EG的最大值为9．

②如图2中，设EF交AD于L，则EL=$\frac{3}{5}$t，

当BO-EL=2或EL-BO=2时，直线EG与⊙B相切，
即3-$\frac{3}{5}\\;t$t=2或$\frac{3}{5}$t-3=2，
解得t=$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$，
∵EH⊥AB，
∴当t=3或7时，直线EH与⊙B相切，
综上所述，当t=3s或7s或$\frac{5}{3}$s或$\frac{25}{3}$s时，⊙B与△HEG的边EG或EH所在的直线相切

（3）如图3中，

易知点G在射线AG上运动，作GN⊥AE于N，BK⊥AG于K．
在Rt△EGN中，∵EG=$\frac{6}{5}$t，tan∠EGN=$\frac{3}{4}$，
∴GN=$\frac{18}{25}$t，EN=$\frac{24}{25}$t，
∴AN=$\frac{1}{25}$t，
在Rt△AGN中，AG=$\sqrt{N{G}^{2}+A{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{5}$t，
∴sin∠EAG=$\frac{GN}{AG}$=$\frac{\frac{24}{25}t}{\frac{\sqrt{13}}{5}t}$=$\frac{24}{65}$$\sqrt{13}$，
在Rt△ABK中，BK=AB•sin∠EAG=$\frac{24}{13}$$\sqrt{13}$，
根据垂线段最短可知，当点G与K重合时，QG的值最小，最小值=$\frac{24}{13}$$\sqrt{13}$-2．
故答案为$\frac{24}{13}$$\sqrt{13}$-2．

点评 本题考查圆综合题、菱形的性质、平行线分线段成比例定理、垂线段最短、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，灵活应用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．