Question

如图1，在△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边AC、BC上（图2、图3备用）
（1）设AC=3，BC=4时，当△CEF与△ABC相似时，求AD的长；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）由勾股定理求得AB=5，分CE和CB对应、CE和CA对应两种情况结合对应边成比例即可分别求得AD的长；
（2）当D是中点时，连接CD，与EF交于点Q，根据折叠的性质和直角三角形的性质可求得∠CFE=∠A，从而可证得结论．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，
若△CEF∽△ABC相似．则∠CEF=∠B（如图1），
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD．
∴AD=BD．
∴此时AD=AB=

1

2

×5=

5

2

．
若△CFE∽△CBA，如图2，则∠CEF=∠A，
∴EF∥BC，
由折叠性质可知CD⊥EF，
∴CD⊥AB．
∴△ACD∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，∴AD=

AC2

AB

=

9

5

，
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为

9

5

或

5

2

；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°．
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A．
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及折叠的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意只有相似没有对应时需要分类讨论．