Question

如图，已知，在?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
（1）求证：DE=BF；
（2）若EF=BE，判断四边形MFNE形状，并证明．

Answer 1

分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，再由AE=CF可得EB=DF，进而得到四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得DE=BF；
（2）首先证明四边形BEDF是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得EN⊥FB，进而得到四边形MFNE是矩形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE=CF，
∴EB=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF；

（2）四边形MFNE是矩形；
∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴EM=

1

2

ED，FN=

1

2

BF，
∵DE=BF，
∴EM=FN，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴EM∥NF，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵EF=BE，
∴△EFB是等腰三角形，
∴EN是△EFB的中线，
∴EN⊥FB，
∴四边形MFNE是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及矩形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理与性质定理．