Question

14．△ABC内接于圆O，AD⊥BC于D，交⊙O于F，若∠ABC=45°，BD=12，CD=5，求半径．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AD、AC，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE=90°，然后求出△ABD和△AEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AE的值，从而得到圆的半径．

解答 解：∵AD⊥BC于D，∠ABC=45°，BD=12，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=12，
∵CD=5，
∴在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
如图，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，
则∠B=∠E，∠ACE=90°，
∴∠ADB=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{15}{AE}$=$\frac{12}{13}$，
解得AE=$\frac{65}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{65}{4}$=$\frac{65}{8}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角的性质，作以直径为斜边的相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．