Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴相交于点A（0，-2），与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2），△AOB的面积为4．
（1）求该反比例函数和直线AB的函数关系式；
（2）求sin∠OBA的值．

Answer 1

分析 （1）根据△AOB的面积为4，A（0，-2），即可得到B点坐标为（4，2），进而得出k=4×2=8，设直线AB函数关系式为y=nx-2，把（4，2）代入，得n的值；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，设AB与x轴相交于点E，由直线AB：y=x-2可得，OA=OE=2，∠OAE=45°，由B点坐标为（4，2），可得OB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，据此可得sin∠OBA的值．

解答 解：（1）∵△AOB的面积为4，A（0，-2），
∴$\frac{1}{2}$OA×x_B=$\frac{1}{2}$×2×x_B=4，
∴x_B=4，
∴B点坐标为（4，2），
设反比例函数关系式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=4×2=8，
反比例函数关系式为y=$\frac{8}{x}$，
设直线AB函数关系式为y=nx-2，
把（4，2）代入，得4n-2=2，
∴n=1，
∴直线AB函数关系式为y=x-2；

（2）如图，过点O作OD⊥AB于点D，设AB与x轴相交于点E，

由直线AB：y=x-2可得，OA=OE=2，
∴∠OAE=45°
∴OD=OA•sin45°=$\sqrt{2}$，
由B点坐标为（4，2），可得OB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠OBA=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．