Question

7．如图，O为?ABCD的对角线AC的中点，过点O的一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）请直接写出有4组全等三角形；
（2）求证：∠EAM=∠NCF．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和SSS得出△ABC≌△CDA；由SAS证明△OAE≌△OCF；由ASA证明△OAM≌△OCN，由SSS证明△AEM≌△CFN，即可得出结论；
（2）由（1）得△AEM≌△CFN，得出对应角相等即可．

解答 （1）解：有4对全等三角形．
分别为：△ABC≌△CDA，△OAE≌△OCF，△OAM≌△OCN，△AEM≌△CFN；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，
在△ABC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{CB=AD}&{\;}\\{AC=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
∵O为?ABCD的对角线AC的中点，
∴OA=OC，
在△OAE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF（SAS）；
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠OCN}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOM=∠CON}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCN（ASA）；
∴AM=CN，OM=ON，
∴EM=FN，
在△AEM和△CFN中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{AM=CN}&{\;}\\{EM=FN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△CFN（SSS）；
故答案为：4；
（2）证明：由（1）得：△AEM≌△CFN，
∴∠EAM=∠NCF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．