Question

10．某工程队修建一条公路，在使用旧设备施工15天后，为尽快完成任务，工程队引进了新设备，从而将工作效率提高了40%，结果比原计划提前10天完成任务．
（1）求使用旧设备修完这条公路所用时间．
（2）在（1）的条件下，工程队计划使用旧设备m天（m为整数），便用新设备n天 （1≤n≤35且n为整数）修建一条公路，使用旧设备一天需花费12000元，使用新设备一天需花费21000元，当m，n分别为何值时，修建这条公路的总费用最少，并求出最少费用．

Answer 1

分析 （1）设使用旧设备修完这条公路需要x天，则使用新设备后每天能修路$\frac{1}{x}$（1+40%），根据实际比原计划提前10天完成任务列出方程即可解答；
（2）设修建这条公路的总费用为W元，则W=12000m+21000n，由$\frac{1}{40}$m+$\frac{7}{200}$n=1，得到m=40-$\frac{7}{5}$n，则W=12000×（40-$\frac{7}{5}$n）+21000n=480000+4200n，根据1≤n≤35，利用一次函数的增减性即可解答．

解答 解：（1）设使用旧设备修完这条公路需要x天，则使用新设备后每天能修路$\frac{1}{x}$（1+40%），由题意得
$\frac{15}{x}$+$\frac{1}{x}$（1+40%）（x-15-10）=1，
解得：x=40
答：使用旧设备修完这条公路需要40天．
（2）设修建这条公路的总费用为W元，则W=12000m+21000n，
∵$\frac{1}{40}$m+$\frac{7}{200}$n=1，
∴m=40-$\frac{7}{5}$n，
∴W=12000×（40-$\frac{7}{5}$n）+21000n=480000+4200n，
∵k=4200＞0，
∴W随n的增大而增大，
∵1≤n≤35，$\frac{7}{5}$n是整数，
∴当n=5时，W有最小值，最小值为；480000+4200×5=501000（元），
m=40-$\frac{7}{5}$n=33，
答：当m=5，n=33时，修建这条公路的总费用最少，最少费用为501000元．

点评 本题考查了一次函数的应用，分式方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，利用一次函数的增减性解决最值问题是解决问题的关键．