题目内容
9．
如图，射线OB、OC均从OA开始，同时绕点O逆时针旋转，OB旋转的速度为每秒6°，OC旋转的速度为每秒2°．当OB与OC重合时，OB与OC同时停止旋转．设旋转的时间为t秒．（1）当t=10，∠BOC=40°．
（2）当t为何值时，射线OB⊥OC？
（3）试探索，在射线OB与OC旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC与OA中的某一条射线是另两条射线所成角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据题意可知：当t=10时，分别求出∠AOB与∠AOC的度数即可求出∠BOC的度数．
（2）当OB⊥OC，此时∠BOC=90°或270°，列出方程即可求出t的值．
（3）根据题意可分三种情况讨论：当OC平分∠AOB；当OA平分∠BOC；当OB平分∠AOC时，从而求出t的值．
解答 解：（1）由题意可知：∠AOB=6t，∠AOC=2t，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=4t=40°
（2）由（1）可知：∠BOC=4t，
当4t=90°，
∴t=$\frac{45}{2}$
当4t=270°时，
∴t=$\frac{135}{2}$
（3）当OC平分∠AOB．
∵∠AOB=6t，∠AOC=2t，
∴∠AOB=3∠AOC，与角平分线矛盾，
此种情况不成立，舍去
②当OA平分∠BOC
由于∠AOC=2t，∠AOB=360-6t
∵∠AOB=∠AOC
∴2t=360-6t，
t=45，
③当OB平分∠AOC时，
由于∠AOC=2t，∠AOB=360-6t，
∵∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC
∴6t-360=$\frac{1}{2}$×2t，
∴t=72
综上所述：t=45或72
故答案为：（1）40°
点评 本题考查角平分线的性质，解题的关键是正确理解角分线的定义，本题属于中等题型．
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