Question

11．如图，在△ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点，连接CE、BF，交点为O，△AEF的面积为1，那么△EOF的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 过A作AD⊥BC于D，交EF于G，过O作OM⊥EF，延长MO交BC于N，由于E，F分为AB，AC的中点，于是得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，证得AD⊥EF，得到AG=GD=$\frac{1}{2}$AD，通过△EOF∽△COB，证得OM：ON=EF：BC=$\frac{1}{2}$，求出OM=$\frac{1}{3}$MN=$\frac{1}{3}$AG，根据三角形的面积列方程即可得到结论．

解答 解：过A作AD⊥BC于D，交EF于G，
过O作OM⊥EF，延长MO交BC于N，
∵E，F分为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD⊥EF，∴AG是△AEF的高，
∴AG=GD=$\frac{1}{2}$AD，
∴MN⊥BC，MN=GD=AG，
∵∠OEF=∠OCB，
∠OFE=∠OBC，
∴△EOF∽△COB，
∴OM：ON=EF：BC=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{1}{3}$MN=$\frac{1}{3}$AG，
∵△AEF的面积为1，
即$\frac{1}{2}$AG•EF=1，
∴AG•EF=2，
∵三角形EOF的面积=$\frac{1}{2}$EF•OM，
∴$\frac{1}{2}$EF•OM=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$EF•AG）
=$\frac{1}{3}$，
即△EOF的面积为：$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．