Question

11．点P在y轴上，A（4，1），B（1，4），如果△ABP是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 设点P的坐标为（0，x），分两种情况：①当点B为直角顶点时，点P在y轴正半轴；②当点A为直角顶点时，点P在y轴负半轴；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：设点P的坐标为（0，x），
分两种情况：
①当点B为直角顶点时，点P在y轴正半轴，
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图1所示：
由勾股定理得：PB²+AB²=PA²，
即1²+（4-x）²+3²+3²=（x-1）²+4²，
解得：x=3，
∴点P的坐标为（0，3）
②当点A为直角顶点时，点P在y轴负半轴，
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图2所示：
由勾股定理得：PA²+AB²=PB²，
即4²+（1-x）²+3²+3²=（4-x）²+1²，
解得：x=-3，
∴点P的坐标为（0，-3）；
综上所述：如果△ABP是直角三角形，点P的坐标为（0，3）或（0，-3）．

点评 本题考查了勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理，根据题意运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．