Question

20．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．
（1）求证：△ABD∽△AHG．
（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求$\frac{GH}{HE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AD为△ABC的角平分线，得到∠BAD=∠CAD，由线段的垂直平分线的性质得到等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠ADB=∠AGH，即可得到结论．
（2）由△ABD∽△AHG，得到$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AG}{AD}$，由已知条件AH=$\frac{1}{2}$AC，4AB=5AC，得到$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{5}{2}$，过H作HM∥CD交AD于M，构造相似三角形，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF⊥AD，FG=FD，
∴ED=EG，
∴∠EGF=∠ADC，
∴∠ADB=∠AGH，
∴△ABD∽△AHG；

（2）解：∵△ABD∽△AHG，
∴$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AD}{AG}$，
∵AH=$\frac{1}{2}$AC，4AB=5AC，
∴$\frac{AB}{AH}$=$\frac{AD}{AG}$=$\frac{5}{2}$，
过H作HM∥CD交AD于M，
设AG=2k，AD=5k，则DG=3k，GF=$\frac{3}{2}$k，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=MD=$\frac{5}{2}$k，
∴GM=$\frac{1}{2}$k，
∵HM∥CD，
∴$\frac{GH}{HE}$=$\frac{GM}{MD}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作平行线构造相似三角形是解题的关键．