Question

15．已知：线段a（如图）
（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）
（2）若a=2cm，则半径R=2cm，边心距r=$\sqrt{3}$cm，周长p=12cm，面积S=6$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 （1）作线段AB=a，再作线段AB的垂直平分线，以点A为圆心，以a的长为半径画圆，交线段AB的垂直平分线于点O，再以O为圆心，以OA的长为半径⊙O，画出⊙O的内接正六边形即可；
（2）根据AB=OA=a可得出R的长，由锐角三角函数的定义得出边心距r的值，进而可得出周长p，根据S_{正六边形ABCDEF}=6S_△OAB即可得出结论．

解答 解：（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；

（2）∵a=2cm，
∴半径R=2cm．
∵OA=OB=AB=a，
∴∠OAB=60°，
∴r=OG=OA•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$cm．
∵a=2cm，
∴周长p=6a=12cm，
∴S_{正六边形ABCDEF}=6S_△OAB=6×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$（cm²）．
故答案为：2，$\sqrt{3}$，12，6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是作图-复杂作图，熟知正六边形的作法及特点是解答此题的关键．