Question

2．阅读理解：对于任意正实数a，b．
O（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}+b≥0$，∴a+b$≥2\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立．结论：在a+b$≥2\sqrt{ab}$（a，b均为实数）若ab为定值p，则a+b$≥2\sqrt{p}$，当且仅当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a，b为正实数，且ab=1，则a+b的最小值是2；
（2）若x，y为正实数，且xy=6，则y+3x的最小值是6$\sqrt{2}$；
（3）面积为4的三角形ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，点D在AC上，点C关于BD的对称点C′在AB上，且以点A、D、C′为顶点的三角形与△ABC相似，求△ABC的最小周长．

Answer 1

分析 （1）根据题意代入计算，即可得出结果；
（2）根据题意代入计算，即可得出结果；
（3）对称的性质得出△BCD≌△BC′D，得出∠BCD=∠BC′D＞∠AD C′，再由相似三角形的性质得出∠BCD=∠BC′D=∠AC′D=90°，由△ABC的面积得出ab=8，由勾股定理得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，根据题意即可△ABC的最小周长．

解答 解：（1）∵当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
∴若a，b为正实数，且ab=1，
则a+b的最小值=2$\sqrt{1}$=2；
故答案为：2；
（2）∵xy=6，
∴y+3x的最小值=2$\sqrt{3xy}$=2$\sqrt{3×6}$=6$\sqrt{2}$；
故答案为：6$\sqrt{2}$；
（3）由对称的性质得：△BCD≌△BC′D，
∴∠BCD=∠BC′D＞∠AD C′，
∵△ADC′∽△ABC，
则∠BCD=∠BC′D=∠AC′D=90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$ab=4，
∴ab=8，
由勾股定理得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
则a+b+c=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=2$\sqrt{8}$+$\sqrt{2×8}$=4$\sqrt{2}$+4，
即△ABC的周长最小值为4$\sqrt{2}$+4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了最小值的意义、勾股定理、直角三角形的判定、直角三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$是解决问题的关键．