Question

10．已知⊙O的直径AB=6，直线AC与⊙O相切于点A，线段AC=8，CB与⊙O相交于点M，⊙O的切线MP与AC相交于点P．
（1）求证：PM=PC；
（2）求cos∠PMC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OM，由切线性质得PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，由直角三角形的性质得∠B+∠C=90°，因为，∠BMO+∠CMP=90°，∠B=∠BMO，等量代换得∠C=∠CMP，得出结论；
（2）利用（1）的结论，∠C=∠CMP，利用勾股定理得BC，求得cos∠C即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OM，
∵直线AC与⊙O相切于点A，PM与⊙O相切于点M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠BMO+∠CMP=90°，
∵∠B=∠BMO，
∴∠C=∠CMP，
∴PM=PC；

（2）解：∵∠C=∠CMP，
在直角△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
cos∠C=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠PMC=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，勾股定理，作出辅助线得∠C=∠CMP是解答此题的关键．