Question

14．如图三角形ABC，BC=12，AD是BC边上的高AD=8．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD与E．求
（1）若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）；
（2）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN=1：2．求PQ、PN的长（图二）
（3）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长

Answer 1

分析 （1）PN与AD交于点E，设PQ=x，则AE=AD-ED=8-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可求出正方形边长；
（2）设长方形的PQ=y则PN=2y，由△APN∽△ABC，利用相似比列方程即可得到结果．
（3）设AE=x，矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

解答 解：（1）设正方形的边长为x，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即 $\frac{x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
解得x=4.8，
∴正方形的边长是4.8；

（2）设PQ=y则PN=2y，由（1）得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即 $\frac{2y}{12}$=$\frac{8-y}{8}$，
解得y=$\frac{24}{7}$，
∴PQ=$\frac{24}{7}$，PN=$\frac{48}{7}$，

（3）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四边形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{PN}{BC}$，PQ=DE，
设AE=x，矩形PQMN的面积为S，
则 $\frac{x}{8}$=$\frac{PN}{12}$，DE=8-x，
∴PN=$\frac{3}{2}$x，PQ=8-x，
∴S=$\frac{3}{2}$x（8-x）=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24，
∴当x=4时，S的最大值为24，
∴当AE=4时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是24．

点评 本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质构建二次函数或方程解决问题，属于中考常考题型．