Question

已知：x+

1

x

=2，求：①x2+

1

x2

的值；②x3+

1

x3

的值；③对任意正整数n，猜想：xn+

1

xn

的值？（不须说明理由）

Answer 1

分析：灵活变化完全平方公式得：x2+

1

x2

=（x+

1

x

）²-2，x3+

1

x3

=（x+

1

x

）³-3（x+

1

x

），由（1）（2）的值可猜想（3）中式子的值．

解答：解：（1）∵x+

1

x

=2，
∴x2+

1

x2

=（x+

1

x

）²-2，
=2²-2，
=2；

（2）∵x+

1

x

=2，
∴x3+

1

x3

=（x+

1

x

）³-3（x+

1

x

），
=2³-3×2，
=8-6，
=2；

（3）由（1）（2）的值都为2，可猜想（3）中xn+

1

xn

=2．

点评：本题考查了完全平方公式，当题中出现两个数的和的等式时，一般要用到它们的乘方．