Question

4．观察下列有规律的数：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{42}$…根据规律可知
（1）第7个数是$\frac{1}{56}$，第n个数是$\frac{1}{n（n+1）}$（n为正整数）；
（2）$\frac{1}{132}$是第11个数；
（3）计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$．

Answer 1

分析 通过观察得到：这列数依次可化为$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$…$\frac{1}{n（n+1）}$计算解答即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$，$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5×6}$，$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$，$\frac{1}{56}=\frac{1}{7×8}$，$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）$\frac{1}{132}=\frac{1}{11×12}$，所以是第11个数；
（3）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；
故答案为：$\frac{1}{56}$；$\frac{1}{n（n+1）}$；11．

点评 此题考查了规律型：数字的变化，解此类题目，关键是根据所给的条件找到规律．本题的关键是把数据变形得到分母的规律为n（n+1）．