Question

19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，MN∥AB，分别与OA、OB交于点M、N，连接BM、CN，猜测线段BM与CN的大小及位置关系？证明你的猜测．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠ABC=90°，AB=CD，OA=OB=OC，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，再证出OM=ON，得出AM=BN，由SAS证明△ABM≌△BCN，得出BM=CN；，∠ABM=∠BCN，证出∠BCN+∠CBM=∠ABC=90°，即可得出BM⊥CN．

解答 解：BM=CN，BM⊥CN；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CD，OA=OB=OC，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，
∵MN∥AB，
∴∠OMN=∠OAB=∠ONM=∠OBA=45°，
∴OM=ON，
∴AM=BN，
在△ABM和△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=BN}&{\;}\\{∠OAB=∠OBC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴BM=CN，∠ABM=∠BCN，
∴∠BCN+∠CBM=∠ABM+∠CBM=∠ABC=90°，
∴BM⊥CN．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．