Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=50°．
（1）若点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则∠BIC=115°．
（2）若点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，则∠BDC=65°．
（3）若点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行计算；
（2）根据三角形的内角和定理、角平分线的定义以及外角的性质进行计算即可；
（3）根据三角形的内角和定理、角平分线的定义以及外角的性质进行计算即可得出结论；
（4）根据平行线的性质以及邻补角的定义进行计算即可．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，
∴∠IBC+∠ICB=65°，
∴△IBC中，∠BIC=180°-65°=115°；
（2）∵△ABC中，∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABC，∠ACB的外角之和=360°-130°=230°，
∵点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，
∴∠DBC+∠DCB=115°，
∴△DBC中，∠BDC=180°-115°=65°；
（3）∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠E=∠DCE-∠CBE，
∵点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACD-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（4）∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=100°，
∴∠ACB=180°-100=80°．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是掌握：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．