题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=7，AD=4，CA=5，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C→D→A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD交于点E，与折线A-C-B的交点为Q，设点M的运动时间为t．
（1）当点P在线段CD上时，CE= ，CQ= ；（用含t的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，如果以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；
（3）当点P运动到线段AD上时，PQ与AC交于点G，若S△PCG：S△CQG=1：3，求t的值．
（1）当点P在线段CD上时，CE=
（2）在（1）的条件下，如果以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；
（3）当点P运动到线段AD上时，PQ与AC交于点G，若S△PCG：S△CQG=1：3，求t的值．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）先由勾股定理得到CD的长，可得CE=3-t，再由直线l∥AD，得
=
，所以CQ=5-
t；
（2）当CP=CQ时，得：5-
t=t，解得：t=
；当QC=QP时解得：t=2；当QP=CP时t=
；
（3）过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．由QM=PA且QM∥PA，求得四边形AMQP为平行四边形．S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
PG•CH，S△CQG=
QG•CH，所以PG：QG=1：3．得：
（7-t）=
t，解方程即可求得t．
| CQ |
| CA |
| CE |
| CD |
| 5 |
| 3 |
（2）当CP=CQ时，得：5-
| 5 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
| 75 |
| 43 |
（3）过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．由QM=PA且QM∥PA，求得四边形AMQP为平行四边形．S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠D=90°，
∴CD=
=
=3．
∴CE=3-t，
∵直线l∥AD，
∴
=
∴CQ=5-
t；
（2）当CP=CQ时，得：5-
t=t，解得：t=
；
当QC=QP时（如图1），
∵QE⊥CD，
∴CP=2CE，
即：t=2（3-t），
解得：t=2；
当QP=CP时，由勾股定理可得：
PQ2=（2t-3）2+（4-
t）2，
∴（2t-3）2+（4-
t）2=t2，
整理得：43t2-204t+225=0，
解得：t1=3（舍去），t2=
．
因此当t=
，t=2或t=
时，以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形；
（3）如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-3）=7-t．
在Rt△BCF中，由题意得，
BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠B=45°，
∴QM=MB=7-t，
∴QM=PA．
又∵QM∥PA，
∴四边形AMQP为平行四边形．
∴PQ=AM=t．
∵S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
PG•CH，S△CQG=
QG•CH，
∴PG：QG=1：3．
得：
（7-t）=
t，
解得：t=
．
因此当t=
时，S△PCG：S△CQG=1：3．
∴∠D=90°，
∴CD=
| AC2-AD2 |
| 52-42 |
∴CE=3-t，
∵直线l∥AD，
∴
| CQ |
| CA |
| CE |
| CD |
∴CQ=5-
| 5 |
| 3 |
（2）当CP=CQ时，得：5-
| 5 |
| 3 |
| 15 |
| 8 |
当QC=QP时（如图1），
∵QE⊥CD，
∴CP=2CE，
即：t=2（3-t），
解得：t=2；
当QP=CP时，由勾股定理可得：
PQ2=（2t-3）2+（4-
| 4 |
| 3 |
∴（2t-3）2+（4-
| 4 |
| 3 |
整理得：43t2-204t+225=0，
解得：t1=3（舍去），t2=
| 75 |
| 43 |
因此当t=
| 15 |
| 8 |
| 75 |
| 43 |
（3）如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．
PA=DA-DP=4-（t-3）=7-t．
在Rt△BCF中，由题意得，
BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠B=45°，
∴QM=MB=7-t，
∴QM=PA．
又∵QM∥PA，
∴四边形AMQP为平行四边形．
∴PQ=AM=t．
∵S△PCG：S△CQG=1：3，且S△PCG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴PG：QG=1：3．
得：
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解得：t=
| 21 |
| 4 |
因此当t=
| 21 |
| 4 |
点评：本题主要考查了四边形中的动点问题．用到平行四边形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，知识点较多，综合性强．
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