如图.线段AB上的点数与线段的总数有如下关系:如果线段AB上有1个点时.线段总共有3条.如果线段AB上有2个点时.线段总数有6条.如果线段AB上有3个点时.线段总数共有10条.-(1)当线段AB上有6个点时.线段总数共有28条．(2)当线段AB上有n个点时.线段总数共有$\frac{}{2}$条．(3)如果从一个多边形的一个顶点出发.分别连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有1个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有2个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有3个点时，线段总数共有10条，…

（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有28条．
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$条．
（3）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2003个三角形，那么此多边形的边数为多少？

分析（1）根据AB线段上分别有1个点、2个点、3个点，找到规律，写出6个点的时候线段总数；
（2）由（1）中规律，可以总结出当线段上有n个点时，线段的总条数；
（3）从三角形、四边形、五边形、六边形中一个顶点出发，连接对角线，求出分割的三角形，总结出一般规律，将2003代入即可求出多边形边数．

解答解：（1）如果线段AB上有1个点时，线段总共有3条，3=$\frac{（1+1）×（1+2）}{2}$
如果线段AB上有2个点时，线段总共有6条，6=$\frac{（2+1）×（2+2）}{2}$
如果线段AB上有3个点时，线段总共有10条，10=$\frac{（3+1）×（3+2）}{2}$
∴当线段AB上有6个点时，线段总数共有$\frac{（6+1）×（6+2）}{2}$=28
故答案为：28．

（2）由（1）中规律如下：
3=$\frac{（1+1）×（1+2）}{2}$，6=$\frac{（2+1）×（2+2）}{2}$，10=$\frac{（3+1）×（3+2）}{2}$，…28=$\frac{（6+1）×（6+2）}{2}$，…
∴当线段AB上有n个点时，
线段总数共有：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．
故答案为：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．

（3）三角形变数为3，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做0条对角线，可将这个多边形分割成0个三角形，
四边形变数为4，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做1条对角线，可将这个多边形分割成2个三角形，
五边形变数为5，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做2条对角线，可将这个多边形分割成3个三角形，
六边形变数为6，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做3条对角线，可将这个多边形分割成4个三角形，
七边形变数为7，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做4条对角线，可将这个多边形分割成5个三角形，
八边形变数为8，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做5条对角线，可将这个多边形分割成6个三角形，
…
n边形变数为n，从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点可做（n-3）条对角线，可将这个多边形分割成（n-2）个三角形，
∴n-2=2003，
∴n=2005．
答：此多边形的边数为2005．