题目内容
如图，菱形ABCD中，AB=10，BG⊥AD于G，BG=8，点E在AB上，AE=4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发以1个单位/s的速度沿着线段AB向终点B运动，同时点Q从点E出发也以1个单位/s的速度沿着线段EF向终点F运动，设运动时间为t（s）．
（1）填空：当t=5时，PQ= ；
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比．
（1）填空：当t=5时，PQ=
（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比．
考点：四边形综合题
专题：综合题
分析：（1）当t=5时，AP=5，EQ=5，过Q点作QH⊥AB于H，如图1，在Rt△ABG中利用勾股定理计算出AG=6，再证明Rt△EHQ∽Rt△AGB，利用相似比可计算出EH=3，HQ=4，则PH=2，然后在Rt△QPH中，根据勾股定理可计算出PQ；
（2）根据菱形的性质，当BQ平分∠ABC时，则点Q为BD与EF的交点，如图2，直线PQ交CD与M，先证明△BEQ∽△BAD，利用相似比计算出EG=6，则AP=6，BP=4；
∵再根据平行线分线段乘比例定理，由EQ∥AD得到
=
=
，接着证明△QBP∽△QDM，利用相似比求出DM=
，然后利用菱形的性质可得到AD=CD=BC=10，
则CM=CD-DM=
，再计算直线PQ将菱形的周长分成两部分的长，最后计算它们的比值．
（2）根据菱形的性质，当BQ平分∠ABC时，则点Q为BD与EF的交点，如图2，直线PQ交CD与M，先证明△BEQ∽△BAD，利用相似比计算出EG=6，则AP=6，BP=4；
∵再根据平行线分线段乘比例定理，由EQ∥AD得到
| BQ |
| QD |
| BE |
| AE |
| 3 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
则CM=CD-DM=
| 22 |
| 3 |
解答：解：（1）当t=5时，AP=5，EQ=5，
过Q点作QH⊥AB于H，如图1，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，∵AB=10，BG=8，
∴AG=
=6，
∵EF∥AD．
∴∠HEQ=∠A，
∴Rt△EHQ∽Rt△AGB，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴EH=3，HQ=4，
∴PH=AH-AP=AE+EP-AP=4+3-5=2，
在Rt△QPH中，PQ=
=2
；
故答案为2
；
（2）∵BQ平分∠ABC，
而四边形ABCD为菱形，
∴点Q为BD与EF的交点，如图2，
直线PQ交CD与M，
∵EQ∥AD，
∴△BEQ∽△BAD，
∴
=
，即
=
，解得EQ=6，
∴AP=6，
∴BP=4，
∵EQ∥AD，
∴
=
=
=
，
∵BP∥DM，
∴△QBP∽△QDM，
∴
=
，即
=
，解得DM=
，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=BC=10，
∴CM=CD-DM=
，
∴AP+AD+DM=6+10+
=
，BP+BC+CM=4+10+
=
，
∴直线PQ把菱形的周长分得的两部分的比=
=
．
过Q点作QH⊥AB于H，如图1，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，∵AB=10，BG=8，
∴AG=
| AB2-BG2 |
∵EF∥AD．
∴∠HEQ=∠A，
∴Rt△EHQ∽Rt△AGB，
∴
| EH |
| AG |
| HQ |
| BG |
| EQ |
| AB |
| EH |
| 6 |
| HQ |
| 8 |
| 5 |
| 10 |
∴EH=3，HQ=4，
∴PH=AH-AP=AE+EP-AP=4+3-5=2，
在Rt△QPH中，PQ=
| PH2+QH2 |
| 5 |
故答案为2
| 5 |
（2）∵BQ平分∠ABC，
而四边形ABCD为菱形，
∴点Q为BD与EF的交点，如图2，
直线PQ交CD与M，∵EQ∥AD，
∴△BEQ∽△BAD，
∴
| EQ |
| AD |
| BE |
| BA |
| EQ |
| 10 |
| 6 |
| 10 |
∴AP=6，
∴BP=4，
∵EQ∥AD，
∴
| BQ |
| QD |
| BE |
| AE |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
∵BP∥DM，
∴△QBP∽△QDM，
∴
| BP |
| DM |
| BQ |
| DQ |
| 4 |
| DM |
| 3 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=BC=10，
∴CM=CD-DM=
| 22 |
| 3 |
∴AP+AD+DM=6+10+
| 8 |
| 3 |
| 56 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 64 |
| 3 |
∴直线PQ把菱形的周长分得的两部分的比=
| ||
|
| 7 |
| 8 |
点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握菱形的性质；会运用勾股定理和相似比计算线段的长；学会解决有关动点的问题．
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