Question

7．小明在数学活动课上，将边长为$\sqrt{2}$和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请求出CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=$\frac{1}{2}$OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．

解答 解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOD=∠COF}\\{OD=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图3所示：

连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=$\frac{1}{2}$OE，
∵正方形ODEF的边长为$\sqrt{2}$，
∴OE=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴DG=OG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴CF=AD=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．