Question

已知x²-3x+1=0，求（1）x+

1

x

；（2）x5+

1

x5

．

Answer 1

分析：（1）由等式x²-3x+1=0，可知x≠0，将等式两边同时除以x，整理即可得出x+

1

x

=3；
（2）先将等式x+

1

x

=3的两边分别平方和立方，整理得出x²+

1

x2

=7，x³+

1

x3

=18，再将（x²+

1

x2

）与（x³+

1

x3

）相乘，根据多项式的乘法法则展开，整理后即可得出x5+

1

x5

的值．

解答：解：（1）∵x²-3x+1=0，
∴x≠0，
方程两边同时除以x，
得x-3+

1

x

=0，
∴x+

1

x

=3；

（2）∵x+

1

x

=3，
∴（x+

1

x

）²=9，（x+

1

x

）³=27，
即x²+2+

1

x2

=9，x³+3x+

3

x

+

1

x3

=27，
∴x²+

1

x2

=7，x³+

1

x3

=18，
∴（x²+

1

x2

）（x³+

1

x3

）=7×18，
∴x5+

1

x5

+x+

1

x

=126，
∴x5+

1

x5

=123．

点评：本题主要考查了完全平方公式，多项式的乘法及代数式求值，根据已知条件得出x≠0，进而将等式两边同时除以x，得出x+

1

x

=3是解题的关键．