Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，O是AB的中点，延长DO至E，使OE=OD，连接AE、BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，试判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由AO=BO、OE=OD知四边形AEBD是平行四边形，由AB=AC、CD=BD知AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°，即可得证；
（2）由cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$知∠C=45°，从而得CD=AD=BD，结合四边形AEBD是矩形可得答案．

解答 解：（1）∵O是AB的中点，
∴AO=BO，
又∵OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC、CD=BD，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形；

（2）四边形AEBD是正方形，
∵cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C=45°，
∵∠ADC=90°，
∴AD=CD，
又∵CD=BD，
∴AD=BD，
∴矩形AEBD是正方形．

点评 本题主要考查矩形的性质和判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及三角函数的定义，熟练掌握矩形的性质和判定是解题的关键．