题目内容

15．设计一个如图所示的槽缸，截面ABCD为矩形，AB+BC+CD=80cm
（1）设矩形ABCD的一边AB=xcm；面积为ycm2，试写出y关于x的函数关系式；
（2）求当x为何值时，面积y最大，最大值为多少？

分析 （1）由AB=x且AB+BC+CD=80cm，得出BC=80-2x，再根据矩形面积公式可得；
（2）将（1）中函数解析式配方即可得．

解答 解：（1）设矩形ABCD的一边AB=xcm，则BC=80-2x（cm），
∴y=x（80-2x）=-2x2+80x，（0＜x＜40）；

（2）∵y=-2x2+80x=-2（x-20）2+800，
∴当x=20时，面积y最大，最大值为800cm2．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据三边长度和得出矩形的长是前提，由矩形面积公式得出函数关系式并熟练配方是解题的关键．

练习册系列答案
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5．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）AM=$\frac{1}{2}$EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG2+BC2=2（AB2+AC2）．
6．小明为一个矩形娱乐场所提供了如下的设计方案，其中半圆形休息区和矩形游泳池以外的地方都是绿地．
（1）游泳池和休息区的面积各是多少？
（2）绿地的面积是多少？
（3）如果这个娱乐场所需要有一半以上的绿地，小明设计的m，n分别是a，b的$\frac{1}{2}$，当a=60米，b=40米时，他的设计方案符合要求吗？（π取值为3）
3．已知直线y=kx+b经过点A（-3，-8），且与直线$y=\frac{2}{3}x$的公共点B的横坐标为6．
（1）求直线y=kx+b的表达式；
（2）设直线y=kx+b与y轴的公共点为点C，求△BOC的面积．
10．数学问题：计算$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$*（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数字问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$\

探究三：计算$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：根据前面探究结果：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．
…
推出：$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．（只填空，其中m、n都是正整数，且m≥2，n≥1）
拓广应用：计算$\frac{5-1}{5}+\frac{{5}^{2}-1}{{5}^{2}}+\frac{{5}^{3}-1}{{5}^{3}}+…+\frac{{5}^{n}-1}{{5}^{n}}$．
20．已知一次函数y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）在坐标系中画出已知中一次函数的图象，并结合图象直接写出不等式y＜0时x的取值范围．
7．阅读下列材料：
在数学综合实践课上，某小组探究了这样一个问题：已知x-y=3，且x＞4，y＜3，试确定x+y的取值范围．他们是这样解答的：
解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
又∵x＞4，
∴y+3＞4，
∴y＞1，
又∵y＜3，
∴1＜y＜3…①，
同理可得：4＜x＜6…②，
由①+②得4+1＜x+y＜3+6
∴x+y的取值范围是5＜x+y＜9．
请仿照上述方法，解决下列问题：已知x+y=2，且x＞1，y＞-4，试确定x-y的取值范围．
4．已知二次方程mx2+（3m-2）x+2m-2=0有一个大于-2的负根，一个小于3的正根，求实数m的取值范围．
5．已知关于x的方程x2+（m-5）x+m-2=0有实根，求实数m的取值范围，使方程的两根分别有以下情况：
（1）两根都小于-2；
（2）一根大于2，另一根小于2；
（3）一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，4）内．

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