Question

20．如图，△ABC中，AD为高，∠B=2∠ACB，E为CD上一点，EC=BD，EF∥AB，且E在FC的垂直平分线上，求证：DF⊥EF．

Answer 1

分析 先判断出∠AGD=∠DEF，再判断出AG=DE，进而得出△ADG≌△DFE即可得出结论．

解答 解：如图，在DC上截取DG=BD，
∴∠AGB=∠B，
∵∠B=2∠ACB，
∴∠GAC=∠ACG，
∴AG=CG=AB，
∵EC=BD，
∴DG=BD=EC，
∴DE=CG=AG，
∵EF∥AB，
∴∠DEF=∠B，
∵∠B=2∠ACB，
∴∠DEF=2∠ACB，
∵E在FC的垂直平分线上，
∴EF=EC=BD=DG，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠DEF=2∠ECF=2∠EFC，
在△ADG和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=EF}\\{∠AGD=∠DEF}\\{AG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△DFE，
∴∠DFE=∠ADG，
∵AD⊥BC，
∴∠ADG=90°，
∴∠DFE=90°，
∴DF⊥EF．

点评 此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出AG=DE．