Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x²的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点Q在是该抛物线上直线AB的下方的一点，作QE∥y轴交AB于E，求EQ的最大值；
（3）点M是y轴上的点，且△ABM为直角三角形，直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；
（2设Q（a，a²），由QE∥y轴交AB于E，得到E（a，a+2）于是得到结论；
（3）设M（0，m）解方程组得到A（-1，1），B（2，4），根据两点间的距离公式得到AB²=18，AM²=1+（1-m）²，BM²=4+（4-m）²，然后列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．
∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（-2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（-2，0），P（0，2）两点坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{2=k×0+b}\\{0=k•（-2）+b}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=x+2；

（2）∵点Q在是该抛物线上直线AB的下方的一点，
∴设Q（a，a²），
∵QE∥y轴交AB于E，
∴E（a，a+2）
∴EQ的长度=a+2-a²=-（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴EQ的最大值为$\frac{9}{4}$；

（3）设M（0，m）
解$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴A（-1，1），B（2，4），
∴AB²=18，AM²=1+（1-m）²，BM²=4+（4-m）²，
当AB²=AM²+BM²时，
即18=1+（1-m）²+4+（4-m）²，
解得m₁=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
当AM²=AB²+BM²时，
即1+（1-m）²=18+4+（4-m）²，
解得：m=6，
当BM²=AB²+AM²时，
即4+（4-m）²=18+1+（1-m）²，
解得：m=0，
∴M（0，0），（0，6），（0，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），（0，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法，难度比较大．另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．