Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-4mx+4m+4（m≠0）的顶点为P．P，M两点关于原点O成中心对称．
（1）求点P，M的坐标；
（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0≤x≤5的部分记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将抛物线解析式转化为顶点式，易得点P的坐标；结合关于原点对称的点的特征写出点M的坐标；
（2）把原点代入函数解析式求得m的值；
（3）翻折后顶点坐标为（2，-4）；结合图象解答．

解答 解：（1）y=mx²-4mx+4m+4=m（x-2）²+4．
点P（2，4），点M（-2，-4）；

（2）将（0，0）代入抛物线表达式得
m（x-2）²+4=0
解得m₁=-1，m₂=3
∴抛物线表达式为：y=-x²+4x

（3）翻折后顶点坐标为（2，-4）；
当直线过（5，5）时可算出n=$\frac{8}{7}$，
所以-4＜n≤$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换，解题时，注意数形结合数学思想的应用．