题目内容
等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F．（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．
【答案】分析：（1）根据三等分点的定义，求得BP与PC的长，进而根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BE的长，即可作出判断；
（2）分别表示出△ABC、△BPE、△PCF的面积，根据四边形AEPF的面积=△ABC的面积-△BPE的面积-△PCF的面积，即可求解；
（3）首先证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得BP的长，进而即可求得PE的长．
解答：解：（1）∵点P为BC的三等分点，
∴BP=
BC=4，PC=
BC=2，
∵PE⊥AB，
∴在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=
BP=2，
∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等边三角形；
（2）△ABC的面积是：
×6×6×
=9
；
BP=x，则BE=
BP=
x．EP=
BE=
x，PC=6-x，PF=
PC=
（6-x）．
则△BPE的面积是：
BE•EP=
×
•
x=
x2，
△PCF的面积是：
PC•PF=
（6-x）•
（6-x）=
（6-x）2．
∴四边形AEPF面积的y=9
-
x2-
（6-x）2；
即y=-
x2+6
x-9
（3＜x＜6）；
（3）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴
=
，
设BP=x，则CP=6-x．
∴
=
，
解得：x=2或4．
当x=2时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
则PE=2
；
当x=4时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
则△BEP是等边三角形，∴PE=4．
故PE=2
或4．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形对应边的比相等求得BP的长是解题的关键．
（2）分别表示出△ABC、△BPE、△PCF的面积，根据四边形AEPF的面积=△ABC的面积-△BPE的面积-△PCF的面积，即可求解；
（3）首先证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得BP的长，进而即可求得PE的长．
解答：解：（1）∵点P为BC的三等分点，
∴BP=
BC=4，PC=BC=2，∵PE⊥AB，
∴在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=
BP=2，∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等边三角形；
（2）△ABC的面积是：
×6×6×=9；BP=x，则BE=
BP=x．EP=BE=x，PC=6-x，PF=PC=（6-x）．则△BPE的面积是：
BE•EP=וx=x2，△PCF的面积是：
PC•PF=（6-x）•（6-x）=（6-x）2．∴四边形AEPF面积的y=9
-x2-（6-x）2；即y=-
x2+6x-9（3＜x＜6）；（3）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴
=，设BP=x，则CP=6-x．
∴
=，解得：x=2或4．
当x=2时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
则PE=2
；当x=4时，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
则△BEP是等边三角形，∴PE=4．
故PE=2
或4．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形对应边的比相等求得BP的长是解题的关键．
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如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB．设EC=x（0＜x≤2）．
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