题目内容
3．已知：如图1，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=10cm，点E从点A开始沿射线AB运动，速度为4cm/s；点F从点D开始沿射线DA运动，速度为5cm/s；连接DE、CF交于点G，设E、F两点同时运动，运动时间为ts．（1）求证：DE⊥CF；
（2）连接EF、EC（如图2），当四边形EFDC的面积是矩形ABCD面积的$\frac{7}{8}$时，求t的值；
（3）连接BG（如图3），是否存在某时刻，使得△BCG是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）首先证明∴△DCF∽△ADE，运用对应角相等和等量代换易证；
（2）由DE⊥CF可知四边形EFDC的面积=$\frac{1}{2}$•DE•CF，运用勾股定理用t分别表示DE和CF，列方程求解；
（3）分类讨论；当GB=GC时，当CB=CG时，当BC=BG时，三种情况运用相似列比例式求解；
解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠CDF=90°，
∵AE=4t，DF=5t，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{4}{5}$，
∵AD=8cm，AB=10cm，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AD}{AB}$，
∴△DCF∽△ADE
∴∠AED=∠DFC
∵∠AED+∠ADE=90°
∴∠DFC+∠ADE=90°
∴DE⊥CF；
（2）∵AE=4t，DF=5t，AD=8cm，AB=CD=10cm，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（5t）^{2}}$
DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+（4t）^{2}}$
∵四边形EFDC的面积是矩形ABCD面积的$\frac{7}{8}$
∴$\frac{1}{2}•CF•DE$=$\frac{7}{8}$×8×10，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1{0}^{2}+（5t）^{2}}$×$\sqrt{{8}^{2}+（4t）^{2}}$=70，
解得：t=$\sqrt{3}$．
（3）存在；
①当GB=GC时，过G作MN⊥BC，则GH=2t，HD=4，FH5t-4
∵△DGH∽△GFH
∴GH2=DH•FH
∴（2t）2=4（5t-4），
解得：②当CB=CG时，DF=5t，CF=$\sqrt{25{t}^{2}+100}$，
∵△CDG∽△CFD
∴CD2=CG•CF
∴102=8×$\sqrt{25{t}^{2}+100}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
③当BC=BG时，
易证△BMG∽△DAE，
∴$\frac{GM}{AE}=\frac{BG}{DE}$
求得GC=2GM=$\frac{64t}{\sqrt{16{t}^{2}+64}}$，
∵CD2=CG•CF
∴102=$\frac{64t}{\sqrt{16{t}^{2}+64}}$×$\sqrt{25{t}^{2}+100}$，
解得：t=$\frac{5}{4}$．
综上所述：t=1或t=4或t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{4}$．
点评 本题主要考查了三角形相似的判定与性质，四边形面积的计算方法，勾股定理应用，方程思想、数形结合以及分类讨论的运用，本题综合性较强，难度较大．
挑战100单元检测试卷系列答案
如图，在一张长为5，宽为4的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为3的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为$\frac{9}{2}$或2$\sqrt{2}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．| A． | x2-2x-1=（x-1）2 | B． | 2x2-2=2（x+1）（x-1） | C． | x2y-xy=y（x2-x） | D． | x2-2x+2=（x-1）2+1 |
如图，△ABC在直角坐标系中，
如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D（点D在第一象限）；