题目内容
20、在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？
分析：若（a1，a2）=1，则称a1与a2互质．若（a1，，ak）=1，则称a1，，ak互质，
值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，
本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的，然后对每个编号分解质因数．
值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，
本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的，然后对每个编号分解质因数．
解答：解：由于最初所有电灯是关着的，所以只有哪些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．
所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．
所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．
点评：此题主要考查了数的奇偶性，得出最后亮着的灯的编号只有为完全平方数，从而解决问题．
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