Question

4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点．求证：四边形ADEF为等腰梯形．

Answer 1

分析 由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，得到对角线相等，再由点E、F分别是对角线AC、BD的中点，等量代换得到DF=AE，利用三线合一得到AF垂直于BD，DE垂直于AC，利用HL得到直角三角形ADF与直角三角形ADE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到∠DAE=∠ADF，AF=DE，再利用SSS得到三角形AFE与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AEF=∠DFE，进而得到AD与EF平行，AF与DE不平行，即四边形AFED为梯形，再利用对角线相等的梯形为等腰梯形即可得证．

解答 证明：∵AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∵点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD，AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DF=AE，
∵AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴AF⊥BD，DE⊥AC，
在Rt△ADF和Rt△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AD=DA\\ AE=DF\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DAE（HL），
∴∠DAE=∠ADF，AF=DE，
在△AFE和△DEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}EF=FE\\ AF=DE\\ AE=DF\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DEF（SSS），
∴∠AEF=∠DFE，
设对角线交于点O，

∴∠AOD=180°-∠DAE-∠ADF=180°-2∠DAE，∠EOF=180°-∠AEF-∠DFE=180°-2∠AEF，
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠DAE=∠AEF，
∴EF∥AD，
∵AF⊥BD，DE⊥AC，
∴∠DAF和∠ADE都是锐角，
∴AF与DE不平行，
∴ADEF为梯形，
又DF=AE，
∴ADEF为等腰梯形．

点评 此题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及梯形的判定，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键．