Question

3．计算下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁵的结果．

Answer 1

分析 利用多项式乘以多项式法则计算各式即可；
（1）根据上述规律写出结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．

解答 解：（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
故答案为：x²-1；x³-1；x⁴-1；
（1）（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1；
故答案为：（1）x⁷-1；（2）xⁿ-1；
（3）1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁵
=（2-1）（2³⁵+2³⁴+2³³+…+2+1）
=2³⁶-1．

点评 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．