Question

17．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

Answer 1

分析 （1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；
（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．
∴△ADB≌△AEC．
∴BD=CE．
（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．

∵∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$．
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
②当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC．
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$．
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$．
∴PB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，PB的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．