Question

17．如图，已知∠MON=30°，点P为∠MON内一点，且OP=8，点A为OM上一点，点B为ON上一点．
（1）当△PAB的周长最小时，请在图中画出△PAB（写出画法，画出图形，不必证明）；
（2）求（1）中△PAB的周长．

Answer 1

分析 （1）分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；
（2）连接OP，OP′，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP′=OP″=8，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，证得△P′OP″是等边三角形，即可得到结论．

解答 解：（1）①分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；
②连接P′、P″，分别交OM，ON于点A、点B，
则点A、点B即为所求．
如图所示：

（2）连接OP，OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP=OP′=OP″=8，
∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∵∠MON=30°，
∴∠P′OP″=2∠MON=60°，
∴△P′OP″是等边三角形，
∴P′P″=OP=8，
∴△PAB的周长=8．

点评 此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．