Question

2．如图，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列各式正确的是（　　）
①AD²=BD•DC；②CD²=CF•CA；③DE²=AE•AB；④AE•AB=AF•AC．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．
①因为不能够证得△ADB与△CDA相似，就不能得出AD²=BD•DC；
②证得△ADC∽△DFC，可证明CD²=CF•CA；
③证得△BED∽△DEA，由相似比则可得到DE²=AE•BE；
④只要证明了△ABD∽△ADE，△ADF∽△DCF，即可推断出AE•AB=AF•AC．

解答 解：∵△ADB与△CDA不能确定相似，
∴不能确定$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{AD}$，故①错误；
∵∠ACD=∠DCF，∠ADC=∠DFC=90°，
∴△ADC∽△DFC，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{DC}{CF}$，
∴CD²=CA•CF，故②正确；
∵∠BDE+∠ADE=∠B+∠BDE=90°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠BED=∠DEA=90°，
∴△BED∽△DEA，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，
∴DE²=AE•BE，故③错误；
∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AD²=AE•AB，
同理可证AD²=AF•AC，
∴AE•AB=AF•AC，故④正确．
故选C．

点评 本题主要应用到了三角形内角的关系，相似三角形的判定及性质，内容较多，较为复杂．