Question

如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折后，点A落到点P处，连接PC．有下列说法：
①△ABE与△PBE关于直线BE对称；
②线段PC的长有可能小于2；
③四边形ABPE有可能为正方形；
④当△PCD是等腰三角形时，PC=2或

5

．
其中说法正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质

专题：

分析：根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断①②③；
以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长．

解答：解：①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则①正确；
②当AE=AB=2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC=2，四边形ABPE是正方形，故②错误，③正确．
④以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．
第1种情况：如答图1，点P与BC的中点H重合时：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD=PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，
则四边形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=

3

，
∴FC=4-

3

，
PC²=（4-

3

）²+1²，
∴PC=

20-8 3

，
故④错误．
故答案是：①③．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及折叠的性质，正确讨论，求得当△BCP是等腰三角形时PC的长是关键．