Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交与A（3，0）、B（0，

3

）两点，在第一象限内有一点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似，则符合条件的点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOP∽△OBA，△BPO∽△OAB，△PBO∽△OAB，△POB∽△OBA四种情况进行分类讨论．

解答：解：∵A（3，0）、B（0，

3

）两点，
∴OA=3，OB=

3

，AB=2

3

，∠OAB=30°．
当∠OBP=90°时，如图1，
①若△BOP∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
②若△BPO∽△OAB，则∠BOP=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
当∠OPB=90°时，
③过点P作OP⊥AB于点P（如图2），此时△PBO∽△OAB，
∠BOP=∠BAO=30°，过点P作PM⊥OA，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

，
∵在Rt△PMO中，∠OPM=60°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；
④如图3，若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠P₄OM=90°-（90°-30°）=30°，
∴P₄M=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）．
当∠OPB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
故符合条件的点有四个：P₁（1，

3

），P₂（3，

3

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）
故答案为：（1，

3

）或（3，

3

3

）或（

3

4

，

3 3

4

）或（

3

4

，

3

4

）．

点评：本题考查的是相似三角形的判定定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．