Question

已知：如图，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B．E是AB上一点，DE⊥CE，AE=BC．EF是△DEC的中线．求证：EF是CD的垂直平分线．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：由已知条件，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且夹边AE=BC，利用ASA得到三角形AED与三角形BCE全等，利用全等三角形对应边相等DE=CE，利用三线合一即可得证．

解答：证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，DE⊥CE，
∴∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
在△AED和△BCE中，

∠A=∠B=90° AE=BC ∠ADE=∠BEC

，
∴△AED≌△BCE（ASA），
∴DE=CE，
∵EF为CD上的中线，
∴EF⊥CD，
则EF是CD的垂直平分线．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．