Question

如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为

CC′

，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,扇形面积的计算,旋转的性质

专题：

分析：根据菱形的性质以及旋转角为30°，连接CD′和BC′，可得A、D′、C及A、B、C′分别共线，求出扇形面积，再根据AAS证得两个小三角形全等，求得其面积，最后根据扇形ACC′的面积-两个小的三角形面积即可．

解答：解：连接CD′和BC′，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵∠C′AB′=30°，
∴A、D′、C及A、B、C′分别共线．
∴AC=

3

∴扇形ACC′的面积为：

30°π( 3 )2

360°

=

π

4

，
∵AC=AC′，AD′=AB
∴在△OCD′和△OC'B中，

CD′=BC′ ∠ACO=∠AC′D′ ∠COD′=∠C′OB

∴△OCD′≌△OC′B（AAS）．
∴OB=OD′，CO=C′O
∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°
∴∠COD′=90°
∵CD′=AC-AD′=

3

-1
OB+C′O=1
∴在Rt△BOC′中，BO²+（1-BO）²=（

3

-1）²
解得BO=

3

2

-

1

2

，C′O=

3

2

-

3

2

，
∴S_△OC′B=

1

2

•BO•C′O=

3

2

-

3

4

∴图中阴影部分的面积为：S_扇形ACC′-2S_△OC′B=

π

4

+

3

2

-

3

．
故答案为：

π

4

+

3

2

-

3

．

点评：本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．