Question

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE=5，CE=3，则DF的长是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 4.8
• D． 5

Answer 1

分析 首先延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，
∵AE=5，EC=3，
∴AC=AE+CE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，AC⊥BD，
∴OE=OC-CE=4-3=1，
∵以OB为直径画圆M，
∴AC是⊙M的切线，
∵DN是⊙M的切线，
∴EN=OE=1，MN⊥AN，
∴∠DNM=∠DOE=90°，
∵∠MDN=∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN=DE：OE，
∵MN=BM=OM=$\frac{1}{2}$OB，
∴DM=OD+OM=3MN，
∴DE=3OE=3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB=DE：EP，
∵OD=OB，
∴DE=EP=3，
∴BP=2OE=2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF=EC：BP=3：2，
∴EF：EP=3：5，
∴EF=EP×$\frac{3}{5}$=1.8，
∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．
故选C．

点评 此题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．