Question

7．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD=∠CBD，BD交AC的延长线于点E．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，半径r=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE是切线，只要证明∠OBE=90°即可．
（2）由△EBC∽△BAC，得到BC：AC=EC：BC，即BC²=CE•CA，由tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，设，AC=4k，BC=3k，推出CE=$\frac{9}{4}$k，在Rt△ABC中，根据AB²=BC²+AC²，
列出方程求出k即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接OC．
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，∵∠DCB=∠DBC，
∴∠DCB+∠OCB=∠DBC+∠OBC=90°，
∴∠DBO=90°，
∴OB⊥EB，'
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠BCA=∠ECB=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∠EBC+∠ABC=90°，
∴∠EBC=∠A，
∴△EBC∽△BAC，
∴BC：AC=EC：BC，
∴BC²=CE•CA，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，设，AC=4k，BC=3k，
∴CE=$\frac{9}{4}$k，
在Rt△ABC中，∵AB²=BC²+AC²，
∴4=25k²，
∵k＞0，
∴k=$\frac{2}{5}$，
∴EC=$\frac{9}{4}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{9}{10}$．

点评 本题考查切线的判定、直径的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．