Question

6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），P（0，4），点C为x轴正半轴上任一点，BP⊥AC交x轴于B点，△ABC内接于⊙M交y轴负半轴于D点．
（1）求D点的坐标；
（2）当点C在x轴正半轴上任意移动时，圆心M的纵坐标是否改变？请写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PBO∽△CAO，推出$\frac{PO}{CO}$=$\frac{BO}{AO}$，得OB•OC=PO•AO=24，由△BOD∽△AOC，推出$\frac{OB}{AO}$=$\frac{OD}{OC}$，得OA•OD=OB•OC=24，推出OD=4，由此即可解决问题．
（2）圆心M的纵坐标不变．作MH⊥AD于H，求出OH的值即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接BD．

∵∠POB=∠AOC=90°，
又∵∠PBO+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠PBO=∠CAO，
∴△PBO∽△CAO，
∴$\frac{PO}{CO}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴OB•OC=PO•AO=24，
∵∠OBD=∠OAC，∠BOD=∠AOC，
∴△BOD∽△AOC，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{OD}{OC}$，
∴OA•OD=OB•OC=24，
∴OD=4，
∴点D坐标（0，-4）．

（2）圆心M的纵坐标不变．
理由：作MH⊥AD于H，
∵AH=HD=5，OD=4，
∴OH=1，
∴点M的纵坐标为1是定值．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质解决问题，求出OD的长是关键，属于中考常考题型．