Question

6．如图，在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，E时AB边的中点，沿EC对折长方形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点．
（1）求证：∠APB=90°；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）在（2）的条件下，若长方形ABCD的边AB=10，BC=$\frac{15}{4}$，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可知BE=EP，由中点可知AE=BE，在△ABP中由三角形内角和可求得∠EPB+∠EPA=90°，可证得结论；
（2）由等边三角形的性质可得AP=AE=PE，由折叠的性质可知∠EBC=∠EPC=90°，∠PEC=∠BEC=60°，可证明△APB≌△EPC；
（3）在Rt△BEC中，由勾股定理可求得EC，可证明四边形AECF为平行四边形，可求得AF，再利用线段的和差可求得PF．

解答 （1）证明：
由折叠可知BE=PE，
∴∠EBP=∠EPB，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，
∴∠EAP=∠EPA，
∵∠EBP+∠EPB+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPB+∠EPA=90°，
∴∠APB=90°；
（2）证明：

∵△AEP是等边三角形，
∴AP=AE=PE，∠PAB=AEP=60°，
由折叠可知∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60°，
∴∠PAB=∠PEC，
由（1）可知∠APB=90°，
∴∠EPC=∠APB，
在△APB和△EPC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠PEC}\\{PA=PE}\\{∠APB=∠EPC}\end{array}\right.$
∴△APB≌△EPC（ASA）；
（3）解：
∵AB=10，
∴BE=5，
∴EC²=BE²+BC²=5²+（$\frac{15}{4}$）²=（$\frac{25}{4}$）²，
∴EC=$\frac{25}{4}$，
∵B、P关于EC对称，
∴BP⊥EC，
由（1）可知BP⊥AF，
∴AF∥EC，且AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=$\frac{25}{4}$，
由（2）可知AP=BE，
∴PF=AF-AP=$\frac{5}{4}$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质及勾股定理等知识点．在（1）中注意折叠性质的应用，在（2）中注意等边三角形性质的应用，在（3）中求得AF=EC是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．