Question

18．如图：一次函数的图象与y轴交于C（0，4），且与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3．a），B（1，b）两点．
（1）求△A0C的面积；
（2）若$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2，求反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据三角形面积公式求得即可；
（2）根据题意得出3a=b，根据$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2得出a-b=-2，解方程组即可求得a的值，从而求得A的坐标，然后根据待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵一次函数的图象与y轴交于C（0，4），与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象在第一象限内交于A（3．a），B（1，b）两点．
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）∵A（3．a），B（1，b）两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴3a=b，
∵$\sqrt{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=2，
∴|a-b|=2，
∵由图象可知a＜b，
∴a-b=-2
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-2}\\{3a=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴A（3.1），B（1，3），
把A点的坐标代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得，1=$\frac{k}{3}$，
∴k=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$（x＞0）；
设一次函数的解析式为y=mx+n，
∵一次函数的图象经过A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{3m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=-x+4．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形面积等，根据题意得出3a=b，a-b=-2是解题的关键．