题目内容
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3
，求AG，MN的长．
（3）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（2）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3
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（3）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
（3）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（2）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
（3）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=
∠BAD=45°．
（2）由（1）知，BE=EG，DF=FG．
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解得x1=12，x2=-2（舍去负根）．
即AG=12．
在Rt△ABD中，
∴BD=
=
=12
．
在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，
∴MN2=ND2+BM2．
设MN=a，则a2=（12
-3
-a）2+（3
）2．
即a 2=（9
-a） 2+（3
） 2，
∴a=5
．即MN=5
．
（3）MN2=ND2+DH2．
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
在△AMN与△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN=HN．
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH2=ND2+DH2．
∴MN2=ND2+DH2．
|
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=
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（2）由（1）知，BE=EG，DF=FG．设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解得x1=12，x2=-2（舍去负根）．
即AG=12．
在Rt△ABD中，
∴BD=
| AB2+AD2 |
| 2AG2 |
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在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，
∴MN2=ND2+BM2．
设MN=a，则a2=（12
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即a 2=（9
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∴a=5
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（3）MN2=ND2+DH2．
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
在△AMN与△AHN中，
|
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN=HN．
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH2=ND2+DH2．
∴MN2=ND2+DH2．
点评：本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．
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完成下面的证明过程：