题目内容
14．如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）点E（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m）是抛物线上一点，求∠AOE的度数；
（2）动点P在线段OB上以每秒1个单位长的速度从O点出发向B点运动，同时动点Q在线段BC上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从C点出发向B点运动，设运动时间为t，求△OPQ面积的最大值和对应时间t的值；
（3）当△OPQ面积最大时，直线PQ与抛物线在第四象限相交于点N，在直线AN上有一动点M，N点关于x轴的对称点为M1，M关于y轴的对称点为M2，是否存在M点使△M1M2D为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）求出E点坐标，进而可得出结论；
（2）先根据题意判断出△BPQ是直角三角形，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）先求出直线AN的解析式，再用m表示出点M，M1，M2的坐标，分M1M22=M1D2+M2D2，M1D2=M1M22+M2D2及M2D2=M1M22+M1D2三种情况进行讨论．
解答 解：（1）∵令x=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，则y=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，
∴∠BOE=45°，
∴∠AOE=180°-45°=135°；
（2）∵B（3，0），C（0，-3）
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵动点P在线段OB上以每秒1个单位长的速度从O点出发向B点运动，同时动点Q在线段BC上以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从C点出发向B点运动，
∴△BPQ是直角三角形，
∴S=$\frac{1}{2}$t（3-t），
∴抛物线的对称轴为t=$\frac{3}{2}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S最大=$\frac{9}{8}$；
（3）∵n=$\frac{3}{2}$，
∴y=（$\frac{3}{2}$）2-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
∵A（-1，0），
∴直线AN的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$．
设M（m，-$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$），则M1（m，$\frac{3}{2}$m+$\frac{3}{2}$），M2（-m，-$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$）．
∵D（1，-4），
∴M1M22=（2m）2+（3m+3）2=13m2+18m+9，
M1D2=（m-1）2+（$\frac{3}{2}$m+$\frac{11}{2}$）2=$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$．
M2D2=（m+1）2+（$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$）2=$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$．
①∵当M1M22=M1D2+M2D2，即13m2+18m+9=$\frac{13}{2}$m2+9m+$\frac{77}{2}$，
∴m=$\frac{-8±8\sqrt{53}}{26}$=$\frac{-9±4\sqrt{53}}{13}$，
∴-$\frac{3}{2}$（m+1）=-$\frac{3}{2}$•$\frac{4±4\sqrt{53}}{13}$=$\frac{6±6\sqrt{53}}{13}$，
∴M（$\frac{-9+4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6+6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{-9-4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6-6\sqrt{53}}{13}$）；
②当M1D2=M1M22+M2D2，即$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$=13m2+18m+9+$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$，
整理得：13m2-2m-15=0，解得m=$\frac{15}{13}$或m=-1，
∴M（$\frac{15}{13}$，-$\frac{42}{13}$）或M（-1，0）；
③当M2D2=M1M22+M1D2，即$\frac{13}{4}$m2-$\frac{11}{2}$m+$\frac{29}{4}$=13m2+18m+9+$\frac{13}{4}$m2+$\frac{29}{2}$m+$\frac{125}{4}$，
∴13m2+38m+33=0，
∴△=382-4×13×33=1444-1716＜0，
∴此种情况不存在．
综上所示，M（$\frac{-9+4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6+6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{-9-4\sqrt{53}}{13}$，-$\frac{6-6\sqrt{53}}{13}$）或M（$\frac{15}{13}$，-$\frac{42}{13}$）或M（-1，0）．
点评 本题考的查是二次函数综合题，涉及到抛物线上点的坐标特点、三角形的性质及勾股定理等知识，难度较大，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
53随堂测系列答案
| A． | 北偏东42° | B． | 北偏东48° | C． | 南偏西48° | D． | 东北方向.. |
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4，
如图所示，三个正方形边长分别为1，2，3，求三角形AMP的面积．